论在高等数学教学中渗透建模思想
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【摘要】全国高等院校数学课程指导委员会提出：要加强对学生建立数学模型并利用计算机分析处理实际问题能力的培养和训练。同时大学生自己在学习时也喜欢更多地思考所学知识的价值，喜欢探究一些具有挑战性的问题，喜欢亲自动手操作实践，建模正好契合了学生的这种需要。 全国高等院校数学课程指导委员会提出：要加强对学生建立数学模型并利用计算机分析处理实际问题能力的培养和训练。同时大学生自己在学习时也喜欢更多地思考所学知识的价值，喜欢探究一些具有挑战性的问题，喜欢亲自动手操作实践，数学建模正好契合了学生的这种需要。教师可以在高等数学教学中适当渗透数学建模的思想，创设适当的问题情境，体现从实际问题中抽象出数学模型的过程以及用数学知识解决实际问题的思想方法，也可以从数学建模的角度介绍一些数学的发展过程。这种教学方式调动了学生应用数学知识分析和解决实际问题的积极性和主动性，学生充满了把数学知识和方法应用到实际问题之中去的渴望，从而让学生感受到数学的理论价值、应用价值和文化价值，激发学生学习数学的兴趣和热情。 1在概念引入教学中融入建模思想 高等数学中的概念相比初等数学中的概念更为抽象，如极限、连续、导数、定积分等，学生在开始学习这些概念的时候总想知道这些概念的来源和应用，希望在实际问题中找到概念的原型。事实上，在高等数学的微积分概念的形成中本身就渗透着数学建模思想。因此在数学概念的引入时，融人数学建模过程是完全可行的，每引出一个新概念，都应有一个刺激学生学习欲的实例，说明该内容的应用性。在概念引入教学中应创设与概念紧密联系的实际问题情境，让学生了解概念的来龙去脉，同时展现从实际问题中抽象出数学概念的过程，引出数学概念，建立数学模型，体会数学地处理问题的方法。如在导出定积分的概念时，设计如下教学过程：实际问题：①如何求变速直线运动的路程？②如何求不规则图形的面积？问题提出后引导学生建立模型。先看问题①，如果速度是不变的，那么，路程＝速度×时间。问题是这里的速度不是一个常数，所以上述公式不能用。我们可以这样考虑：把时间段分为许多小区间，当时间段分割的足够小时，由于速度的变化是连续的，可以认为各小区间段内的速度是匀速的，即小区间内的速度看作是一个常数，用这一小段的时间乘速度就是这一小段的近似路程，把所有小段时间的路程加起来就得到路程的近似值，要想得到精确的值，就要把分割无限地加细，使每个小区间段的长度都趋于零，这时所有小区间段上的路程之和的极限就是所求的路程。再看问题②，求不规则图形的面积，归结为求曲边梯形的面积的问题，类似问题①的分析，通过分割、近似、求和、取极限转化为一个和式的极限：若该极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分，记作，从而抽象出定积分的概念。2在应用问题教学中渗透建模思想 例如，“微元法”是高等数学中最基本、最重要、最有实用价值的思想与方法之一，是高等数学得以广泛应用的基础，也是应用微积分描述实际问题，构成数学模型的基础。我们在教学实践中也发现许多工科的学生对利用“微元法”思想解决实际问题这部分内容很感兴趣。因此，要将它贯穿于课程教学的全过程。通过结合几何学、学、经济学、生命科学及军事的大量实例，加深对高等数学的与现实背景的理解，增强应用数学去理解、描述实际问题的能力，培养数学建模的初步能力。导数的应用可安排讲些诸如瞬时速度、切线斜率、边际利润、边际成本等求实际问题的例子；极值问题部分内容可讲些资源管理、最大利润、造价最低、征税问题等；微分方程一章除了介绍课本中物理、几何等方面的应用题外，还可以插入生物增长模型、竞争模型等例子，这样可以使学生在较简单的实际问题中提炼微分方程，并且求解。以存贮模型为例，可设置如下的教学案例。现实问题：已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。问题分析与思考：日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。先从具体入手：若每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元，则每天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100＝4500元，准备费5000元，总计9500元，则平均每天费用950元；若50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100＝122500元，准备费5000元，总计127500元，则平均每天费用2550元。那么，是否10天生产一次平均每天费用最小?现分析如下：若生产周期短，则每个周期产量小，贮存费少，但准备费多；若生产周期长，则每个周期产量大，准备费少，但贮存费多。因此，存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小，这是一个优化问题，需要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系，关键是建立目标函数。这显然不能用一个周期的总费用作为目标函数，目标函数应为每天总费用的平均值。模型假设：①产品每天的需求量为常数；②每次生产准备费为 ,每天每件产品贮存费为；③天生产一次（周期），每次生产件，当贮存量为零时，件产品立即到来（生产时间不计）；④为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。本文阐述了在高等数学教学中渗透建模思想不但能够激发大学生数学学习的兴趣，体会数学的实用价值，而且能够发展大学生的辩证逻辑思维、创造性思维以及元认知能力。 |
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